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六年级奥数题及答案:容斥原理_小学奥数

时间:2018-06-01来源:游戏笔墨网 -[收藏本文]

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在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一差不多四个月大婴儿得了癫痫,能治吗道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是?

解答:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。

分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

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由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①

由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……②

由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③

由(4)知:a1=a2+a3……④

再由②得a23=a2-a3×2……孩子今年8岁了,患上羊癫疯已经3年了,一直在使用药物治疗,那么药物能够治好羊癫疯吗?

再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥

然后将④⑤⑥代入①中,整理得到

a2×4+a3=26

由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:

当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22

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又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3

因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。

然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。

故只解出第二题的学生人数a2=6人。